三次放物線
計算のことはさておき、三次放物線について簡単に紹介します。
三次放物線とは
曲率が完全に直線で逓減するクロソイド曲線の代わりに使われる曲線が三次放物線と呼ばれる曲線です。ここでは日本で独自に改良した三次放物線(JP)ではなく、元々の三次放物線について解説します。
三次放物線の値 - 緩和曲線自体
円曲線の半径を \(R\) 、緩和曲線長を \(X\) と表記します。曲率を\( \kappa \)と書きます。緩和曲線の途中の曲がった角度を \( \theta \) 、緩和曲線全長で曲がる角度を \( \Theta \) と表記します。
\[ \begin{align} y &= ax^{3} \\ y' &= 3ax^{2} = \tan \theta \tag{1}\\ y'' &= 6ax \\ \kappa &= \frac{y''}{|v|^{3}} = \frac{6ax}{|v|^{3}} \\ |v| &= \sqrt{ 1 + y'^{2} } = \sqrt{ 1 + (3ax^{2})^{2} } \\ \end{align} \]曲率 \(\kappa\)ではなく\(y\)が直線となっています。
円曲線の半径が \(R\)、緩和曲線長（\(x\)軸の長さ）が \(X\) のとき、\(R\) と \(a\) は以下の式を満たします。
\[ \frac{1}{R} = {\kappa}_{X} = \frac{6aX}{( 1 + (3aX^{2})^{2} )^{\frac{3}{2}}} \tag{2} \]曲率\(\kappa\)は規格化の因子 \(|v|^{3}\) の影響で最大値があり、ある一定の角度までしか緩和曲線で曲がることができません。緩和曲線で曲がれる角度の限界は、\(\kappa\)が最大値をとるときなので、
\[ \frac{d\kappa}{dx} = \frac{6a(1-45a^2x^4)}{(1+9a^2x^4)^{\frac{5}{2}}} = 0 \]のときです。そのときの\(x\)は、
\[ \begin{align} x_{\kappa_{\max}}^2 = \frac{1}{3 \sqrt{5} \, a} \\ \end{align} \]なので、緩和曲線として使える\(x\)はの範囲は、
\[ \begin{align} x^2 \leq x_{\kappa_{\max}}^2 = \frac{1}{3 \sqrt{5} \, a} \\ \end{align} \]です。(1)式から\(x^2=\frac{\tan\theta}{3a}\)なので代入することで、
\[ \begin{align} \tan\theta \le \frac{1}{\sqrt{5}} \\ \end{align} \]となります。緩和曲線として使える\(\Theta\)はの範囲は、
\[\begin{align} \tan\Theta \le \tan\Theta_{\kappa_{\max}} &= \frac{1}{\sqrt{5}} \\ \cos\Theta \ge \cos\Theta_{\kappa_{\max}} &= \sqrt{\frac{5}{6}}\\ \sin\Theta \le \sin\Theta_{\kappa_{\max}} &= \frac{1}{\sqrt{6}}\\ \end{align} \]となります。角度に直すと、
\[ \Theta\le24.0948...[\deg] \]の範囲です。
\(a\)の値を求める最も簡単な近似は、
\[
(3aX^{2})^{2} = \tan^{2}\Theta \ll 1
\]
として(2)式が、
\[
\frac{1}{R} \sim 6aX
\]
となることから、
\[
a \sim \frac{1}{6XR}
\]
となります。
\(a\)の正確な値は、
\[\begin{align} \frac{1}{R} = \kappa_{X} &= \frac{6aX}{ \left[ 1 + (3aX^{2})^{2} \right]^{\frac{3}{2}}} \\ &= \frac{6aX}{ \left[ 1 + \tan^{2}\Theta \right]^{\frac{3}{2}}} \end{align}\]から変形することで以下のように書けます。
\[\begin{align} a &= \frac{1}{6XR} \,[ 1 + \tan^{2}\Theta ]^{\frac{3}{2}} \tag{3}\\ &= \frac{1}{6XR} \,\frac{1}{\cos^{3}\Theta } \tag{4} \\ \end{align}\]近似に対してどれくらいの補正をすればよいかわかる表式ですが、\(\cos\Theta\)が\(a\)と\(X\)で表記されることに注意してください。
別の変形として、
\[\begin{align} \frac{1}{R} = \kappa_{X} &= \frac{6aX}{ [ 1 + (3aX^{2})^{2} ]^{\frac{3}{2}}} \tag{5}\\ &= \frac{2}{X} \, \frac{3aX^{2}}{ [ 1 + (3aX^{2})^{2} ]^{\frac{3}{2}}} \\ &= \frac{2}{X} \, \frac{\tan\Theta}{ [ 1 + \tan^{2}\Theta ]^{\frac{3}{2}}} \end{align}\]となることから、\(X\)は以下のように書けます。
\[\begin{align} X &= \frac{2R \tan\Theta}{ [ 1 + \tan^{2}\Theta ]^{\frac{3}{2}}} \tag{6}\\ &= 2R \tan\Theta \cos^{3}\Theta \\ &= 2R \sin\Theta \cos^{2}\Theta \tag{7}\\ &= 2R \sin\Theta ( 1 - \sin^{2}\Theta) \tag{8} \end{align}\]これで\(R\)と\(\Theta\)だけで\(X\)を書くことができました。
これを\(a\)の表式(3)に代入することで 、
\[\begin{align}
a &= \frac{1}{6XR} [ 1 + \tan^{2}\Theta ]^{\frac{3}{2}} \\
&= \frac{1}{6R} \frac{[ 1 + \tan^{2}\Theta ]^{\frac{3}{2}}}{2R \tanΘ} [ 1 + \tan^{2}\Theta ]^{\frac{3}{2}} \\
&= \frac{[ 1 + \tan^{2}\Theta ]^{3}}{12 R^{2} \tan\Theta } \\
&= \frac{ 1 }{12 R^{2} \tan\Theta \cos^{6}\Theta} \\
&= \frac{ 1 }{12 R^{2} \sin\Theta \cos^{5}\Theta}
\end{align}\]
となり、\(R\)と\(\Theta\)から\(a\)を正確に書くことができます。
なお、\(X\)を\(R\)と\(\Theta\)で書いた(6)式を\(a\)の近似式に代入することで 、
\[\begin{align}
a &\sim \frac{1}{6XR} \\
&= \frac{1}{6R} \frac{ [ 1 + \tan^{2}\Theta ]^{\frac{3}{2}}}{2R \tan\Theta} \\
&= \frac{[ 1 + \tan^{2}\Theta ]^{\frac{3}{2}}}{12 R^{2} \tan\Theta}
\end{align}\]
と、\(R\)と\(\Theta\)で\(a\)の近似値を書くことができ、正確な値との比も無矛盾です。
\(X\)を\(R\)と\(\Theta\)で書いた(7)式から変形することで、
\[\begin{align} \frac{X}{R} &= 2 \sin\Theta \cos^{2}\Theta \\ \end{align}\]と書けます。緩和曲線として使用できる\(\frac{X}{R}\)の範囲は、
\[\begin{align} \frac{X}{R} &\le 2\sin\Theta_{\kappa_{\max}} \cos^{2}\Theta_{\kappa_{\max}} \\ %= 2\frac{1}{\sqrt{6}} \frac{5}{6} &= \frac{5}{3\sqrt{6}} \sim 0.6804... \tag{9}\\ \end{align}\]となり、緩和曲線として使用できる範囲を、円曲線半径\(R\)と緩和曲線長\(X\)の比で書くことができます。
一方で(8)式から変形して以下のように書けます。
\[ \sin^{3}\Theta - \sin\Theta + \frac{X}{2R} = 0 \]\(\sin\Theta\)の3次方程式になっていますので、解の公式を使うことで\(\sin\Theta\)を求めることができます。
\(\sin\Theta = u\)と書くことで
\[ u^{3} = u - \frac{X}{2R} \]と変形することができます。求めたい解は以下の2つのグラフの交点として表すことができます。
\[\begin{align} v &= u^{3} \\ v &= u - \frac{X}{2R} \\ \end{align}\]求めたいのは\(u (=\sin\Theta) \geq 0\)の解なので、\(X\)と\(R\)が、\(X \geq 0\)と\(R \geq 0\)であることに注意するとグラフを書くことで、3つの実数解を持つときに求めたい解が存在することがわかります（但し正の実数解2つが重解であってもよいです）。またグラフから求めたい解は3つの内、大きさが真ん中の解となることがわかります。
3次方程式
\[\begin{align} t^3 + pt + q =0\\ \end{align}\]が3つの実数解を持つのは以下の条件のときです。
\[\begin{align} \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27} \le 0 \tag{10}\\ \end{align}\]但し等号が成立するのは重解を含むときです。このとき3つの実数解は以下のように書けます。
\[\begin{align} t = 2 \sqrt{-\frac{p}{3}} \cos\frac{\phi+2k\pi}{3} \;\; , \;\; k=0,1,2 \\ \mathrm{with}\;\; \cos\phi = -\frac{q}{2} \sqrt{\frac{27}{-p^3}} \end{align}\](10)式の条件から（1組の重解を含む）3つの実数解を持つのは以下の条件のときです。
\[\begin{align} -\frac{4}{3\sqrt{3}}R \leq X \leq \frac{4}{3\sqrt{3}}R \tag{11}\\ \end{align}\]解の公式を使って得られる3つの階の内、求めたい解に当てはまるのは\(k\)が\(k=2\)のときであったので、以下のように書くことができます。
\[\begin{align} \sin\Theta &= \frac{2}{\sqrt{3}} \cos \left( \frac{4}{3}\pi + \frac{1}{3} \mathrm{Cos}^{-1}\left(-\frac{3\sqrt{3}X}{4R}\right) \right) \\ &= \frac{2}{\sqrt{3}} \cos \left( \frac{5}{3}\pi - \frac{1}{3} \mathrm{Cos}^{-1}\left(\frac{3\sqrt{3}X}{4R}\right) \right) \end{align}\]なお、求めたい正の実数解が存在するのは、(11)式の条件とから
\[\begin{align} 0 \leq \frac{X}{R} \leq \frac{4}{3\sqrt{3}} \\ \end{align}\]のときで、角度からくる制限(9)の方がきつくなります。式変形して、\(\cos\Theta\)を以下のように書けます。
\[\begin{align} \cos\Theta &= \sqrt{1-\sin^2\Theta} \\ &= \sqrt{ 1 - \frac{4}{3} \cos^{2} \left( \frac{5}{3}\pi - \frac{1}{3} \mathrm{Cos}^{-1}\left(\frac{3\sqrt{3}X}{4R}\right) \right) } \\ &= \sqrt{ 1 - \frac{4}{3} \left[ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos \left( \frac{4}{3}\pi - \frac{2}{3} \mathrm{Cos}^{-1}\left(\frac{3\sqrt{3}X}{4R}\right) \right) \right] } \\ &= \sqrt{ \frac{1}{3} \left[ 1 - 2 \cos \left( \frac{4}{3}\pi - \frac{2}{3} \mathrm{Cos}^{-1}\left(\frac{3\sqrt{3}X}{4R}\right) \right) \right] } \end{align}\]これを(4)式に代入して\(a\)の正確な値は、
\[\begin{align} a &= \frac{1}{6XR} \frac{1}{ \left[ \frac{1}{3} \left[ 1 - 2 \cos \left( \frac{4}{3}\pi - \frac{2}{3} \mathrm{Cos}^{-1}\left(\frac{3\sqrt{3}X}{4R}\right) \right) \right] \right]^{\frac{3}{2}} } \end{align}\]となります。分母を展開して、\(a\)の近似は、
\[\begin{align} a &\sim \frac{1}{6XR} \frac{1}{ \left[ 1 - \frac{X^{2}}{4R^{2}} - \frac{X^{4}}{8R^{4}} \right]^{\frac{3}{2}} } \end{align}\]と書くことができます。
緩和曲線の実際の経路の長さ\(l\) は、
\[\begin{align} l &= \int_{0}^{x} \sqrt{ 1 + y^{2} } \, dx = \int_{0}^{x} \sqrt{ 1 + ( 3a x^{2} )^{2} } \, dx \end{align}\]となります。ルートを展開して、
\[\begin{align} l &= \sum_{n=0}^\infty \int_{0}^{x} (-1)^{n-1} \frac{(2n-3)!!}{2^n \, n!}(9a^2x^4)^n dx \\ &= \sum_{n=0}^\infty \left[ (-1)^{n-1} \frac{(2n-3)!! \, 9^n a^{2n} }{2^n \, n! (4n+1)}x^{4n+1} \right]_{0}^{x} \\ &= \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n-1} \frac{(2n-3)!! \, 9^n a^{2n} }{(2n)!! \, (4n+1)}x^{4n+1} \\ &= x + \frac{9}{10} a^{2} x^{5} - \frac{9}{8}a^4x^9 + \frac{729}{208}a^6x^{13} - \frac{32805}{2176}a^8x^{17} + \, ... \end{align}\]となります。なおマイナスの二重階乗の定義は、
\[\begin{align} (-1)!! &= 1 \\ (-3)!! &= -1 \end{align}\]を採用します。緩和曲線の全長\(L\)は、\(x = X\)のときなので、\(a \sim \frac{1}{6XR}\) と組み合わせた簡易計算では、
\[\begin{align}
L &\sim X + \frac{9}{10} \left(\frac{1}{6XR}\right)^{2} X^{5}\\
&= X + \frac{9 X^{5}}{10\cdot 36 X^{2}R^{2}}\\
&= X \left[ 1 + \frac {X^{2}}{40 R^{2}} \right]\\
&= X \left[ 1 + \frac{1}{10} \left(\frac{X}{2R}\right)^{2} \right]\\
&\sim X \left[ 1 + \frac{1}{10} \tan^{2}\Theta \right]\\
&= X \left[ \frac{ 10 + \tan^{2}\Theta }{10} \right]\\
X &\sim \frac{10}{10 + \tan^{2}\Theta} L
\end{align}\]
となります。