クロソイド曲線
クロソイド曲線の緩和曲線の各種数値を紹介します。
クロソイド曲線の場合では、円曲線の半径と、緩和曲線で曲がる角度、あるいは緩和曲線の実際の経路の長さ、この2点を決めるだけで、緩和曲線の形状は一意に決まります。
緩和曲線の途中のある点の、半経を \(R\) 、緩和曲線で曲がった角度を \(\theta\)、緩和曲線に沿った長さを \(L\) と表記します。
クロソイドパラメーターを \(A\) と表記します。
曲率は直線状に変化します。
\[ \frac{1}{R} = \kappa = \frac{L}{A^2} \]曲率と緩和曲線の実際の長さが正比例している曲線です。曲率が完全に直線で逓減ます。
以下のように書くことができます。
\[\begin{align} A^2 &= LR \\ \end{align}\]以下のように書くことで無次元化した\(l\)と\(r\)で書くこともできます。
\[\begin{align} 1 = \frac{L}{A}\frac{R}{A} = lr \\ \end{align}\]角度\(\theta\)は、
\[\begin{align} \theta &= \int_0^L \kappa dL \\ &= \int_0^L \frac{L}{A^2} dL \\ &= \frac{L^2}{2A^2} \\ &= \frac{L}{2R} \\ &= \frac{A^2}{2R^2} \\ \end{align}\]\(x\)と\(y\)は、
\[\begin{align} x = \int_0^L dL \cos \theta = \int_0^L dL \cos \frac{L^2}{2A^2} \\ y = \int_0^L dL \sin \theta = \int_0^L dL \sin \frac{L^2}{2A^2} \\ \end{align}\]と書けます。計算すると、
\[\begin{align} x & = \int_0^L dL \cos \frac{L^2}{2A^2} \\ & = \sum_{n=0}^\infty \int_0^L dL \frac{(-1)^n \left(\frac{L^2}{2A^2}\right)^{2n}}{(2n)!} \\ & = \sum_{n=0}^\infty \int_0^L dL \frac{(-1)^n }{ (2n)! } \frac{L^{4n}}{2^{2n} A^{4n}}\\ & = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n }{ (4n+1) (2n)! } \frac{L^{4n+1}}{2^{2n} A^{4n}} \\ & = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n }{ (4n+1) (2n)! } \frac{L^{4n+1}}{2^{2n} L^{2n} R^{2n}} \\ & = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n }{ (4n+1) (2n)! } \frac{L^{2n+1}}{2^{2n} R^{2n}} \\ & = 2R \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n }{ (4n+1) (2n)! } \theta^{2n+1} \\ \end{align}\] \[\begin{align} y & = \int_0^L dL \sin \frac{L^2}{2A^2} \\ & = \sum_{n=0}^\infty \int_0^L dL \frac{(-1)^n \left(\frac{L^2}{2A^2}\right)^{2n+1}}{(2n+1)!} \\ & = \sum_{n=0}^\infty \int_0^L dL \frac{(-1)^n }{ (2n+1)! } \frac{L^{4n+2}}{2^{2n+1} A^{4n+2}}\\ & = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n }{ (4n+3) (2n+1)! } \frac{L^{4n+3}}{2^{2n+1} A^{4n+2}} \\ & = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n }{ (4n+3) (2n+1)! } \frac{L^{4n+3}}{2^{2n+1} L^{2n+1} R^{2n+1}} \\ & = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n }{ (4n+3) (2n+1)! } \frac{L^{2n+2}}{2^{2n+1} R^{2n+1}} \\ & = 2R \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n }{ (4n+3) (2n+1)! } \theta^{2n+2} \\ \end{align}\]\(L\)と\(R\)を使って具体的に書くと、
\[\begin{align} x & = L \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n }{ (4n+1) (2n)! } \frac{L^{2n}}{2^{2n} R^{2n}} \\ & = L \left[ 1 -\frac{ 1 }{5 \cdot 2^2 \cdot 2! } \left( \frac{L}{R} \right)^2 +\frac{ 1 }{9 \cdot 2^4 \cdot 4! } \left( \frac{L}{R} \right)^4 -\frac{ 1 }{13 \cdot 2^6 \cdot 6! } \left( \frac{L}{R} \right)^6 +... \right] \\ & = L \left[ 1 -\frac{ 1 }{40} \left( \frac{L}{R} \right)^2 +\frac{ 1 }{3456 } \left( \frac{L}{R} \right)^4 -\frac{ 1 }{599040} \left( \frac{L}{R} \right)^6 +... \right] \\ \end{align}\] \[\begin{align} y & = \frac{L^2}{2R}\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n }{ (4n+3) (2n+1)! } \frac{L^{2n}}{2^{2n} R^{2n}} \\ & = \frac{L^2}{2R} \left[ \frac{1}{3} -\frac{ 1 }{7 \cdot 2^2 \cdot 3! } \left( \frac{L}{R} \right)^2 +\frac{ 1 }{11 \cdot 2^4 \cdot 5! } \left( \frac{L}{R} \right)^4 -\frac{ 1 }{15 \cdot 2^6 \cdot 7! } \left( \frac{L}{R} \right)^6 +... \right] \\ & = \frac{L^2}{6R} \left[ 1 -\frac{ 1 }{56 } \left( \frac{L}{R} \right)^2 +\frac{ 1 }{7040 } \left( \frac{L}{R} \right)^4 -\frac{ 1 }{1612800 } \left( \frac{L}{R} \right)^6 +... \right] \\ \end{align}\]緩和曲線長\(L_{TCL}\)と円曲線の半径\(R_{CC}\)を使って\(A\)を以下のように書き変えると、
\[\begin{align} A^2 &= L_{TCL}R_{CC} \\ \end{align}\]\(x\)と\(y\)はそれぞれ、
\[\begin{align} x & = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n }{ (4n+1) (2n)! } \frac{L^{4n+1}}{2^{2n} A^{4n}} \\ & = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n }{ 2^{2n} (4n+1) (2n)! } \frac{L^{4n+1}}{ ( L_{TCL} R_{CC} )^{4n}} \\ & = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n }{ 2^{2n} (4n+1) (2n)! } \frac{L_{TCL}}{ R_{CC} ^{4n}} \left(\frac{L}{L_{TCL}}\right)^{4n+1}\\ \end{align}\] \[\begin{align} y & = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n }{ (4n+3) (2n+1)! } \frac{L^{4n+3}}{2^{2n+1} A^{4n+2}} \\ & = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n }{2^{2n+1} (4n+3) (2n+1)! } \frac{L^{4n+3}}{ ( L_{TCL} R_{CC})^{4n+2}} \\ & = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n }{2^{2n+1} (4n+3) (2n+1)! } \frac{L_{TCL}}{ R_{CC}^{4n+2}} \left(\frac{L}{L_{TCL}}\right)^{4n+3}\\ \end{align}\]と書けます。
また、\(A\)と\(L\)を使って書くと、
\[\begin{align} x & = L \left[ 1 -\frac{ 1 }{40} \left( \frac{L}{A} \right)^4 +\frac{ 1 }{3456 } \left( \frac{L}{A} \right)^8 -\frac{ 1 }{599040} \left( \frac{L}{A} \right)^{12} +... \right] \\ \end{align}\] \[\begin{align} y & = \frac{L^3}{A^2} \left[ 1 -\frac{ 1 }{56 } \left( \frac{L}{A} \right)^4 +\frac{ 1 }{7040 } \left( \frac{L}{A} \right)^8 -\frac{ 1 }{1612800 } \left( \frac{L}{A} \right)^{12} +... \right] \\ \end{align}\]となります。
クロソイド曲線上の点 \(( x , y )\) の計算が無限級数とはなっていますが、正と負の数を交互に足すことと、各項の絶対値が1つ進むと○桁下がるといった小さくなり方をしますので、これ以上計算しないでもいいところまで小さくなったら計算をやめていいことになります。プログラムで計算する場合では、可変にする方法もあります。
Bve trainsimの直線逓減で使われている曲線がクロソイド曲線のようです。